1. Alcance
Esta práctica cubre métodos simples para calcular cuantas unidades incluir en una muestra aleatoria ordenada para estimar con una precisión prescrita, una medida de calidad para todas las unidades de un lote de material, o producida por un proceso. Esta práctica indicará claramente el tamaño de la muestra requerida para estimar el valor promedio de alguna propiedad o la fracción de ítems no conformes producido por un proceso de producción durante el intervalo de tiempo cubierto por la muestra aleatoria. Si el proceso no está en un estado de control estadístico, el resultado no tendrá valor predictivo para producción inmediata (futura) La práctica trata la situación común donde las unidades muestreadas pueden ser consideradas para exhibir una fuente sencilla (completa) de variabilidad; esto no es tratado como fuentes multi-niveles de variabilidad.
2. Documentos Referenciados
Estándares ASTM:
E 456 Definición de Términos Relativos a Métodos Estadísticos.
Terminología.
Definiciones – A menos que se anote de otra manera, todos los términos estadísticos son definidos en Definiciones E 456.
Símbolos:
E = error máximo tolerable para el promedio de la muestra, que es la máxima diferencia aceptable entre el promedio verdadero y el promedio de la muestra.
e = E/, error de muestreo máximo permisible expresado como una fracción de
k = el número total de muestras disponibles del mismo lote o similar.
= lote o proceso medido o valor esperado de X, el resultado de la medición de todas las unidades en el lote o proceso.
o = un estimado adelantado de .
N = tamaño del lote
n = tamaño de la muestra tomada de un lote o proceso.
Nj = tamaño de la muestra j
nL = tamaño de la muestra de un lote finito (7.4)
p´ = fracción de un lote o proceso cuyas unidades tienen la característica de no conformidad bajo investigación.
po = una estimación adelantada de p´
p = fracción no conforme en la muestra
R = rango de un set de valores muestreados. La observación más grande menos la más pequeña
Rj = rango de muestra j.
R = Rj /k, promedio del rango de k muestras, todas del mismo tamaño (8.2.2).
= desviación estándar de X del lote o proceso, el resultado de medir todas las unidades de un lote o proceso finito.
o = un estimado adelantado de
s = [ ((Xi –X)2 / (n-1)]1/2 un estimado de la desviación estándar de n observaciones, Xi, i = 1 a n.
s =
Sj /k, promedio s de k muestras, todas del mismo tamaño (8.2.1).
sp = reunido (promedio ponderado) s de k muestras, no todas del mismo tamaño (8.2)
sj =desviación estándar de la muestra j.
t = un factor (el 99.865 percentil de la distribución Student´s) correspondiente al grado de libertad fo de un estimado adelantado o (5.1).
V = /, el coeficiente de variación del lote o proceso.
Vo = un estimado adelantado de V (8.3.1).
=s/X, el coeficiente de variación estimado de la muestra.
j = coeficiente de variación de la muestra j.
X = valor numérico de la característica de una unidad individual siendo medida.
X = Xi /ni promedio de n observaciones, Xi, i= 1 a n.
Significado y Uso
4.1 Esta práctica está proyectada para usarse en la determinación del tamaño de la muestra requerida para estimar, con precisión prescrita, una medida de calidad de un lote o proceso. La práctica aplica cuando la calidad es expresada como el promedio del lote para una propiedad dada o como la fracción del lote no conforme a los estándares prescritos. El nivel de una característica puede frecuentemente ser tomado como una indicación de la calidad de un material. Si es así, un estimado del valor promedio de la característica o de la fracción de valores observados que no son conformes a una especificación para que la característica sea una medida de calidad con respecto a esa característica. Esta práctica está proyectada para usarse en la determinación del tamaño de la muestra requerida para estimar, con precisión prescrita, tales como una medida de la calidad de un lote o proceso como un valor promedio o como una fracción no conforme a un valor especificado.
5. Conocimiento Empírico Necesario
5.1 Algún conocimiento empírico del problema por adelantado es deseable.
5.1.1 Podemos tener alguna idea acerca de desviación estándar de la característica
5.1.2 Si no tenemos experiencia para dar una estimación precisa para la desviación estándar, podemos ser hábiles para declarar nuestra opinión acerca del rango o extensión de la característica de sus valores altos y bajos y posiblemente alrededor de la forma de la distribución de la característica; por ejemplo, podríamos ser hábiles para decir si todos los demás valores tienden a un extremo del rango, o están en su mayor parte en la mitad, o corren bastante uniformemente de un extremo a otro (Sección 9).
5.2 Si el objetivo es para estimar la fracción no conforme, entonces a cada unidad puede ser asignado un valor de 0 a 1 (conforme o no-conforme), y la desviación estándar tan bien como la forma de la distribución depende solamente de p´, la fracción no conforme del lote o proceso. Alguna idea concerniente al tamaño de p´ es entonces necesaria, la cual puede ser derivada del muestreo preliminar o de experiencia previa.
5.3 El conocimiento superficial es suficiente para iniciar con, aunque mayor conocimiento permite un tamaño de muestra pequeña. Raras veces habrá dificultad en adquirir información suficiente para calcular el tamaño requerido de la muestra. Una muestra que es más larga que la ecuación indica si es usada en la práctica actual cuando el conocimiento empírico es superficial para iniciar con y cuando la precisión deseada es crítica.
5.4 En cualquier caso, aún con el conocimiento superficial, la precisión de la estimación hecha de una muestra aleatoria puede por sí misma ser estimada de la muestra. Esta estimación de la precisión de una muestra hace esto posible para fijar más económicamente el tamaño de la muestra para la siguiente muestra o un material similar. En otras palabras, la información concerniente al proceso, y el material producido por eso, es acumulado y puede ser usado.
6. Precisión Deseada
La precisión aproximada deseada para el estimado debe ser prescrita. Esto es, si puede ser decidido que máxima desviación, E, puede ser tolerada entre la estimación a ser hecha de la muestra y el resultado que puede ser obtenido por medición de cada unidad en el lote o proceso.
En algunos casos, el error de muestreo permisible máximo es expresado como una proporción, e, o un porcentaje, 100e. Por ejemplo, uno puede desear hacer un estimado del azufre contenido en carbón con error máximo permisible de 1%, ó e = 0.01.
7. Ecuaciones para calcular el tamaño de la Muestra
Basado en una distribución normal para la característica, la ecuación para el tamaño, n, de la muestra es como sigue:
n = (3 o / E)2 (1)
Dónde:
o = estimación anticipada de la desviación estándar del lote o proceso
E = el máximo error admisible entre la estimación a ser hecha de la muestra y el resultado de la medición (por los mismos métodos) de todos las unidades en el lote o proceso
3 = un factor correspondiente a una baja probabilidad que la diferencia entre la estimación de la muestra y el resultado de la medición (por los mismos métodos) de todas las unidades en el lote o proceso son mayores que E. La selección del factor 3 es recomendada para uso general. Con el factor 3, y con un lote o proceso de desviación estándar igual al estimado por adelantado, es prácticamente asegurado que el error de muestreo no excede E. Donde un grado láser de certeza es deseado un factor menor puede ser usado (Nota 1).
Nota 1 – Por ejemplo, el factor 2 en lugar de 3 da una probabilidad de alrededor 45 partes en 1000 que el error de muestreo excederá E. Si bien las distribuciones reúnen en la práctica puede no ser normal (Nota 2), la siguiente tabla textual (basada en la distribución normal) indica las probabilidades aproximadas:
Factor
Probabilidad Aproximada de exceder E
3 0.003 o 3 en 1000 (prácticamente asegurado)
2.56| 0.010 o 10 en 1000
0.045 o 45 en 1000
0.050 o 50 en 1000 (1 en 20)
0.100 o 100 en 1000 (1 en 10)
Nota 2 – Si un lote de material tiene una elevada distribución asimétrica en la característica medida, el factor 3 dará una probabilidad diferente, posiblemente mucho mayor que 3 partes en 1000 si el tamaño de la muestra es pequeño. Hay dos cosas que hacer cuando la asimetría es sospechosa.
7.1.1 Pruebe el material con un vistazo para descubrir, por ejemplo, valores extra altos, o posiblemente observar un recorrido de carácter anormal, en orden para aproximar burdamente la cantidad de la asimetría para usarse con la teoría estadística y ajuste del tamaño de la muestra si es necesario.
7.1.2 Examinar el lote para buscar material anormal y segregación de este para tratamiento separado
7.2 Hay algunos materiales para los cuales varia aproximadamente con
en cuyo caso V (= /) se mantiene aproximadamente constante desde valores de grandes a pequeños.
7.2.1 Para la situación de 7.2, la ecuación para el tamaño de la muestra, n, es así:
n = (3 Vo / e)2 (2)
Dónde:
Vo = (coeficiente de variación) = o /o
e = E / el error de muestreo permitido expresado como una fracción (o como un porcentaje) de .
= el valor esperado de la característica siendo medida.
Si el error relativo, e, es el mismo para todos los valores de , entonces todo en el lado derecho de la ecuación 2 es una constante; por lo tanto, n es además una constante, la cual significa que el mismo tamaño de muestra n puede ser requerido para todos los valores de .
7.3 Si el problema es para estimar la fracción del lote no conforme, entonces o2 es reemplazado por po así que la ecuación 1 queda:
n = (3 / E)2
po
(1 – po) (3)
Donde:
po = estimación anticipada del lote o fracción del proceso no conforme p´ y E po
7.4 Cuando el promedio para el proceso de producción no es necesario, sino el promedio de un lote particular es necesario, entonces el tamaño de muestra requerida es menor que la ecuación 1, 2 o 3 indicadas. El tamaño de la muestra para estimación del promedio del lote finito será:
nL =n /[1+ (n/N)] (4)
donde:
n = el valor calculado de la ecuación 1, 2 o 3
N = el tamaño del lote
Esta reducción en el tamaño de la muestra es usualmente de poca importancia a menos que n sea 10 % o más de N.
8. Reducción del Conocimiento Empírico a un Valor Numérico de o (Información para Muestras Previas Disponibles)
oo
8.1 esta sección ilustra el uso de las ecuaciones en la Sección 7 cuando hay datos para muestras previas.
8.2 Para la ecuación 1 – Un estimado de o puede ser obtenido de un conjunto previo de datos. La desviación estándar, s, de alguna muestra dada es calculada como:
s = [ (Xi – X)2 / (n-1)]1/2 (5)
El valor de s es una muestra estimada de o. Un
valor más estable para o puede ser calculado mediante juntar el valor s obtenido de algunas muestras de lotes similares. Juntar los valores s de sp para k muestras es obtenido por un promedio ponderado de los k resultados de usar la ecuación 5.
Sp = [ (nj-1)sj2 / (nj-1)]1/2 (6)
Dónde:
sj = la desviación estándar para la muestra j.
nj = el tamaño de la muestra para la muestra j.
8.2.1 Si cada uno de los conjuntos de información previa contienen el mismo número de mediciones, nj, entonces un sencillo, pero significativamente menos eficiente estimado para o puede ser hecho usando un promedio (s) de los s valores obtenidos de algunas muestras previas. El valor calculado de s en general será un estimado insignificante prejuiciado de o. Una estimación sin prejuicio de o es calculada como sigue:
o = s /c4 (7)
Donde el valor del factor de corrección, c4, depende del tamaño del conjunto de información individual (nj) (Tabla 1).
8.2.2 Un equitativo sencillo, e insignificantemente menos eficiente estimado para o puede ser calculado usando el rango promedio ( R ) tomado de algún conjunto de información previa que tiene el mismo tamaño de grupo.
o = R /d2 (8)
El factor d2, de la Tabla 1 es necesario para convertir el rango promedio en un estimado sin tendencia de o.
8.2.3 Ejemplo 1 – Uso de s.
8.2.3.1 Problema – Para calcular el tamaño de la muestra necesario para estimar el esfuerzo transversal promedio de un lote de ladrillos cuando el valor deseado de E es 50 psi, y se desea certeza práctica.
8.2.3.2 Solución – De la información de tres lotes previos, el valor de la desviación estándar estimada fue encontrado en 215, 192, y 202 psi basados en muestras de 100 ladrillos. El promedio de estas tres desviaciones estándar es 203 psi. El valor c4 es esencialmente unitario cuando la ecuación 1 da el siguiente resultado:
n = [(3x203)/50]2 = 149 ladrillos (9)
Para el tamaño requerido de muestra dar un error de muestreo máximo de 50 psi, y se desea certeza práctica.
8.3 Para Ecuación 2 – Si varia aproximadamente y proporcionalmente con para la característica del material a ser medido, calcule el promedio X, y la desviación estándar, s, para algunas muestras que tienen el mismo tamaño. Un promedio de algunos valores de = s/X pueden ser usados para Vo.
8.3.1 Para casos donde el tamaño de la muestra no es el mismo, un promedio ponderado deberá ser usado como una aproximación estimada para Vo.
Vo = [ (nj-1) j / (nj-1)]1/2 (10)
Dónde:
j =el coeficiente de variación para la muestra j
nj = el tamaño de la muestra para la muestra j.
Tabla 1. Valores del Factor de Corrección C4 y d2 para Seleccionar Tamaños de Muestras nj.
Tamaño de Muestra, (nj) | C4 | d2 |
2 | 0.798 | 1.13 |
4 | 0.921 | 2.06 |
5 | 0.940 | 2.33 |
8 | 0.965 | 2.85 |
10 | 0.973 | 3.08 |
8.3.2 Ejemplo 2 – Uso de V, el coeficiente de variación estimado:
8.3.2.1 Problema – Para calcular el tamaño de la muestra necesario para estimar la resistencia a la abrasión promedio de un material cuando el valor deseado de e es 0.10 o 10 %, y se desea certeza práctica.
8.3.2.2 Solución – No hay información de muestras previas de este mismo material, pero información para seis muestras de materiales similares muestran un amplio rango de resistencia. Sin embargo, los valores de la desviación estándar estimada son aproximadamente proporcionales a los promedios observados, como se muestra en la siguiente tabla:
Lote No. | Tamaño muestra | Ciclos promedio | Rango R observado | Estimación o = R/3.08A | Coeficiente Variación, % |
1 | 10 | 90 | 40 | 13.0 | 14 |
2 | 10 | 190 | 100 | 32.5 | 17 |
3 | 10 | 350 | 140 | 45.5 | 13 |
4 | 10 | 450 | 220 | 71.4 | 16 |
5 | 10 | 1000 | 360 | 116.9 | 12 |
6 | 10 | 3550 | 2090 | 678.6 | 19 |
Promedio | 15.2 |
A
Valores de la desviación estándar, s, pueden ser usados en lugar de las estimaciones hechas en el rango, si son preferidas o disponibles. El uso de s puede ser más eficiente.
El uso del promedio de los valores observados del coeficiente de variación para Vo en la ecuación 2 da lo siguiente:
n = [(3x15.2)/10]2 = 20.8 21 especímenes (11)
Para el tamaño requerido de la muestra dar un error de muestreo máximo de 10 % del valor esperado, y se desea certeza práctica.
8.3.2.3 Si el error permisible máximo de 5 % fuera necesario, el tamaño requerido de la muestra será 83 especímenes. La información suministrada por la muestra prescrita será útil para el estudio en mano y también para la próxima investigación de materiales similares.
8.4 Para la ecuación 3 – Calcule la fracción estimada no conforme, p´, para cada muestra. Entonces para el promedio ponderado use la siguiente ecuación:
p =número total de no conformidades en todas las muestras
número total de unidades en todas las muestras
8.4.1 Ejemplo 3 – Uso de p:
8.4.1.1 Problema – Para calcular el tamaño de la muestra necesario para estimar la fracción no conforme en un lote de pernos y tuercas aleación de acero cuando el valor deseado de E es 0.04, y se desea certeza práctica.
8.4.1.2 Solución – La información en la siguiente tabla de cuatro lotes previos fue usada para un adelanto de la estimación de p:
Lote No. | Tamaño Muestra | No conformidades | Fracción no conforme |
1 | 75 | 3 | 0.040 |
2 | 100 | 10 | 0.100 |
3 | 90 | 4 | 0.044 |
4 | 125 | 4 | 0.032 |
Total | 390 | 21 |
p = 21/390 = 0.054
n = (3/0.04)2 (0.054) (0.946) = 288
Si el valor deseado de E fuera 0.01 el tamaño de la muestra requerida será 4600. Con un tamaño de lote de 2000, la ecuación 4 da n L = 1934 ítems. Si bien este valor de nL representa alrededor del 70 % del lote, el ejemplo ilustra el tamaño de la muestra requerida para conseguir el valor deseado de E con certeza práctica.
Fig. 1 Algunos tipos de Distribución y su desviación estándar
9. Reducción del Conocimiento Empírico a un Valor Numérico para o (Ningún Dato de Muestras Previas de la misma o Material Disponible
9.1 Esta sección ilustra el uso de las ecuaciones en la Sección 7 cuando no hay valores actuales observados para el cálculo de o.
9.2 Para la ecuación 1 – De experiencias pasadas, procesar para descubrir que el valor más pequeño (a) y el más largo (b) de la característica son gustosamente para ser. Si este no es conocido, obtenga esta información de alguna otra fuente. Procesar para imaginar cuantos de otros valores observados pueden ser distribuidos Unas cuantas observaciones simples y preguntas concernientes al comportamiento pasado del proceso, el procedimiento usual de batido, mezclado, apilamiento, alma-cenamiento, etc., y conocimiento concerniente al envejecimiento del material y la práctica usual de apartar el material (ultimo adentro, primero fuera; o ultimo adentro, ultimo afuera) serán usualmente sacar suficiente información para distinguir entre una forma de distribución y otra (Fig. 1). En caso de duda, o en el caso que la precisión deseada E es cuestión crítica, la distribución rectangular puede ser usada. El precio de la protección extra proporcionado por la distribución rectangular es una muestra grande, debido a lo largo de la desviación estándar de eso.
9.2.1 La desviación estándar estimada de una de las formulas de la Fig. 1, basada en los valores más grande y más pequeño, puede ser usado como una estimación adelantada de o en la ecuación 1. Este método de estimación adelantada es aceptable y es frecuentemente preferible para valores dudosos observados de s, s, o r.
9.2.2 Ejemplo 4 –Uso de o de la Fig. 1.
9.2.2.1 Problema (el mismo del ejemplo 1) – Para calcular el tamaño de la muestra necesario para estimar el esfuerzo transversal promedio de un lote de ladrillos cuando el valor deseado de E es 50 psi.
9.2.2.2 Solución -- De experiencias pasadas la difusión de valores de esfuerzo trans-versal para un lote de ladrillos ha sido alrededor de 1200 psi. Los valores fueron api-lados en la mitad de la banda, pero no necesariamente normalmente distribuidos.
9.2.2.3 La distribución del triángulo isósceles en la Fig. 1 parece ser la más apropia-da, la estimación adelantada o es 1200/4.9 = 245 psi. Entonces
n = [(3x245)/50]2 = 216.1 = 217 ladrillos (13)
9.2.2.4 La diferencia en el tamaño de la muestra entre 217 y 149 ladrillos (encontrar-do en el ejemplo 1) es el costo del conocimiento sin detalle.
9.3 Para la ecuación 2 – En general, el conocimiento que el uso de Vo en cambio de o es preferible que pueda ser obtenido del análisis de la información actual en cuyo caso aplican los métodos de la Sección 8.
9.4 Para la ecuación 3 – De experiencias pasadas, estimar aproximadamente la banda dentro de la cual la fracción no conforme es gustosamente para tenderse. Regrese a la Fig. 2 y lea el valor de o2 = p´ (1-p) para la mitad del rango posible de p´ y úselo en la ecuación 8. En caso de precisión deseada es una materia crítica, use el valor grande de o2 dentro del posible rango de p´.
10. Consideración de Costos
10.1 Después del tamaño requerido de muestra para reunir una precisión prescrita es calculada de las ecuaciones 1, 2, o 3, el siguiente paso es calcular el costo del ensayo para este tamaño de muestra. Si el costo es también grande, esto puede ser posible para relajar la precisión requerida o la equivalente, la cual es para aceptar un incremento en la probabilidad (Sección 7) que el error de muestreo puede exceder el máximo error permisible E y para reducir el tamaño de la muestra para reunir el costo permisible.
10.2 La ecuación 1 da n en términos de una precisión prescrita, pero podemos resolverlo para E en términos de un n dado y entonces descubrir la precisión posible para un costo permisible dado este es, E = 3o / n1/2. Lo mismo puede ser hecho para la ecuación 2 y 3.
10.3 es necesario especificar el error permisible deseado, E, o el costo permisible; de otra manera no es el tamaño apropiado de la muestra.
11. Selección de la Muestra
11.1 En orden para hacer algún estimado para un lote o para un proceso, sobre la base de una muestra, es necesario seleccionar las unidades de la muestra en aleatoriedad. Un procedimiento aceptable para asegurar una selección aleatoria es el uso de números aleatorios. La falta de predictibilidad, tales como un brazo mecánico extenso sobre una faja transportadora, no es productiva una muestra aleatoria.
11.2 En el uso de números aleatorios, el material puede primero ser quebrado de alguna manera dentro de las unidades de muestreo. Además, cada unidad de muestreo puede ser identificable por un número de serie actual, o por alguna regla. Para artículos empacados, una regla es fácil; el paquete conteniendo un numero seguro de artículos en capas definidas, arreglados de una manera particular y es fácil para idear algún sistema para numerar los artículos. En el caso de material en bruto mineral, o carbón, o un barril de pernos y tuercas, el problema de definir unidades de muestreo usables puede tomar lugar en una estación temprana de manufactura o en el proceso de mover el material.
11.3 Esto no es el propósito de esta práctica, cubrir el manejo de materiales, no para encontrar caminos por los cuales uno puede con seguridad descubrir el camino para un tipo satisfactorio de unidad de muestreo. En cambio, esto es asumido que una adecuada unidad de muestreo ha sido definida y entonces el objetivo es responder la pregunta de cuantos para atraer.
Referencia: Annual Book of ASTM Standards, 2003
Volume 14.02 Métodos de Ensayo General, Métodos Estadísticos
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